3.4. Принадлежность точки, линии поверхности

Решение основных задач на поверхности сводится к построению точек и линий, лежащих на поверхности, и опирается на условия принадлежности.

3.4.1. Каковы условия принадлежности точки, линии поверхности?

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на поверхности: АФАlФ.

Линия принадлежит поверхности, если она проходит через точки, лежащие на поверхности: l(А, В, С)ФА,В,С. Ф

Следовательно, для того, чтобы задать на поверхности принадлежащую ей точку, необходимо вначале построить какую-либо вспомогательную линию, лежащую на поверхности, а затем выделить на ней точку.

В качестве вспомогательной линии на линейчатых поверхностях выбирается образующая (см. рис. 44б, 45б, 46б). Но вместо образующей можно взять и другую линию поверхности. Предпочтение следует отдавать простым для построения на чертеже линиям – прямым и окружностям. Для того, чтобы правильно выбрать эту вспомогательную линию нужно знать, какая задана поверхность и какие простые линии она содержит.

3.4.2. Какие простые линии содержат поверхности вращения? Как построить ортогональные проекции линий и точек принадлежащих поверхностям вращения?

Коническаяповерхность вращения содержит два семейства простых линий: прямолинейные образующие и окружности – параллели. На рис. 51б выполнено построение проекций произвольной образующей SL (SL, SL, SL). Точка А принадлежит SL и лежит на конической поверхности. Параллель p (p, p) – окружность, которую описывает точка А образующей при вращении вокруг оси j1, лежит в горизонтальной плоскости уровня() и проецируется на плоскость2в отрезок прямой p(12), на плоскость1– в окружность p, радиус которой R легко определить графически.

На рис. 52б задана цилиндрическаяповерхность, образующие которой прямые, перпендикулярные плоскости1. Точка М (М, М) лежит на его поверхности.

Сферасодержит семейства простых линий – окружностей-параллелей. Расположение их зависит от выбора оси вращения. На рис. 53а сфера образована вращением окружности m (m,m) вокруг

оси j1. Поэтому произвольная параллель p (p,p) лежит в горизонтальной плоскости уровня() и проецируется на плоскость2в отрезок прямой p(12), на плоскость1– в окружность p, радиус R которой легко определить графически. Точка Е (Е, Е), лежащая на параллели p, принадлежит поверхности сферы. Эта же сфера может быть образована вращением окружности e (e,e) вокруг оси j2. Построение проекций параллели p(p,p) для этого случая показано на рис. 53б. Точка К (К, К) лежит на поверхности сферы.

Тор, как поверхность вращения, содержит одно семейство простых линий – окружностей-параллелей. На рис. 54б изображен тор, образованный вращением окружности m(m,m) вокруг оси j1. Все точки образующей m при вращении вокруг оси j описывают окружности, которые проецируются на плоскость2в отрезки прямых, перпендикулярных оси j, на плоскость1– в окружности. Так, точка А(А,А) образующей описывает окружность рА(рА, рА) радиусом RA, а точка В(В,В) – окружность рВ(рВ, рВ) радиусом RB; фронтальные проекции их совпадают: рА= рB.

Точки М (М, М) и F(F, F), взятые соответственно на параллелях рАи рВ, лежат на поверхности тора.

3.4.3. Как определить недостающую проекцию точки, принадлежащей заданной поверхности, если одна проекция точки известна?

ПРИМЕР 1. Найти горизонтальную проекцию Аточки А, лежащей на поверхности прямого кругового конуса, если известна ее фронтальная проекция А(рис. 55а).

1. С использованием прямолинейной образующей:

а) проводим через точку Афронтальную проекцию вспомогательной образующей SL(рис. 55б);

б) находим горизонтальную проекцию SLи отмечаем на ней с помощью линии связи искомую точку А(рис. 55в).

2. С использованием параллели-окружности p (рис. 55г):

а) строим фронтальную проекцию рАпараллели pА, проходящую через точку А – рАj;

б) строим горизонтальную проекцию рАпараллели рА– окружность радиуса RАи отмечаем на ней с помощью линии связи искомую точку А.

ПРИМЕР 2. Найти недостающие проекции точек В, С и N лежащих на поверхности сферы (рис. 56a).

1 Точка В лежит на главном меридиане – окружности m (m, m), точка С – на экваторе е (е, е). На рис. 56б с помощью линий связи выполнено построение искомых точек Вmи Се.

2. Для построения горизонтальной проекции Nточки N (рис. 56в) используем параллель p(p,p), фронтальную проекцию pкоторой, проводим через точку N. Затем строим p– окружность радиуса Rpи отмечаем на ней с помощью линии связи искомую точкуN (исходя из задания, точка N лежит на передней части параллели p).